薛定谔方程|《张朝阳的物理课》探究谐振子模型的量子化问题( 二 ) 元宇宙|xr|分辨率|一虎一席谈

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根据此近似，张朝阳把波函数变换为：

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将此式代入原来的方程，即可得到：

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其中关于ξ的二次项已经被消掉了。至此，张朝阳将H展开成幂级数代入方程，得到了系数的递推关系。（备注：后面将看到波函数中的H函数为Hermite多项式形式，故这里取其首字母。）

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紧接着，张朝阳分析了如此递推公式下的幂级数，如果不截断成多项式，会导致波函数不满足边界条件，也就是波函数无法归一化。如果要求这个幂级数截断成多项式，则有2k+1-λ=0，从而λ=2k+1。按照一般习惯将k写为n，再结合前方变量代换中λ和E的关系，可得：

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据此，张朝阳强调，谐振子的能量不是连续的，而是存在间隔的。这就是谐振子量子化的体现。他说，“经典力学中的谐振子能量就像斜坡，量子力学中的谐振子能量则是台阶，一级一级的。”
最后，他还介绍了谐振子定态波函数的具体形式。

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(张朝阳介绍谐振子的定态波函数和能级)
拓展讨论：基态波函数、不确定性关系、等间距能级与零点能张朝阳以谐振子基态波函数为例，强调基态的概率分布是高斯分布。先是通过概率分布的集中部分估算了Δx，然后根据动量和能量的关系估算了Δp，最后确认了两者的乘积确实满足不确定性关系。

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(谐振子基态满足不确定性关系)
他强调，谐振子最低能态(n=0的态)的能量不是0，也就是具有所谓的“零点能”。这是和经典力学不一样的。不过，由于谐振子相邻能级之间的差为固定值，而热激发只和能量差有关，因此，当年普朗克的黑体辐射公式才能和实验完全吻合。
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张朝阳认为研究自然界是特别有意思的事情，他希望物理课的受众能保有好奇心，“在好奇心驱使下，了解自然界的奥秘，了解我们在这个世界生存的道理”。该课程于每周周五、周日12时在搜狐视频直播。同时，网友可以在搜狐视频“关注流”中搜索“张朝阳”，观看往期完整视频回放。
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